原文: http://www.themeditators.org/forum.php?mod=viewthread&tid=725&extra=page%3D1

英文版: https://www.mtggoldfish.com/articles/the-unfair-mana-base

搬運工前言: 好文留底, 將中國用語萬智牌改成魔法風雲會, 以及增加部分內文註解或用語,   以利閱讀.

 

The Unfair Mana Base 不對等的法術力基礎

 

1 前言:問題的提出

前些日子網路上有很多牌友在討論一對片語:fairunfair

 

比如:

 01.PNG

       還有:

02.png

 

這對片語被魔法風雲會圈說了很多年,但還沒有人能給出一個準確的界定。

 

在日文網站MTGwiki.com上邊,unfair被描述為希望用“非正常手段”獲得勝利的套牌,包括追求儘早獲勝的組合技或者高協同性套牌,讓其他套牌的主牌很難與之互動。組合技例如掘墳(Reanimator),高協同性套牌例如侵染(Infect)和共鳴(Affinity)。摩登貼皮(Bogles)、塔脈爐(Tron/克薩傢具組)這種也算是unfair。而fair被描述為用“正常手段”取勝的套牌,以堆砌單卡價值為主要思路。所舉的單卡實例包括塔莫耶夫(Tarmogoyf)、徘徊靈魂(Lingering Souls)以及掃場。Fair裡邊分成了beatdown/aggrocontrolmidrangeaggro-control(即tempo套牌)等幾類;即使beatdowncontrol這種牌外掛了組合技,也歸在fair套牌裡。這種定義是從取勝的方式來理解,符合牌手的一般認知。

 

 

 

在我寫的《資源的轉換和對等》裡,我嘗試從資源的角度來理解這一對片語。我的理解是:從資源的角度說,unfair這個詞應該翻譯成“不對等”。所有的unfair套牌的設計理念,都是追求在某類資源上的高度不對等。比如Legacy MUD,它的優勢在於有速度遠遠超過對手的法術力基礎,還在於用虛空聖杯(Chalice of the Void)和三定法球(Trinisphere)這樣的永久物封鎖對手的手牌。在這個基礎之上,它擁有個頭巨大的生物(例如亞龍卷 Wurmcoil Engine、白金皇像 Platinum Emperion)和功能恐怖的旅法師(例如卡恩 Karn Liberated、烏金 Ugin, the Spirit Dragon)。它的劣勢在於牌庫資源的分佈過於不均衡,當你有八個費的時候,下一掏可能是烏金,也可能是灰黑巨石(Grim Monolith);還在於它是無色,不能享受到顏色輪裡面每個顏色帶來的好處,因而牌庫資源有限。所以說這套牌整體上是平衡的,但是追求某類資源的不對等。再比如說掘墳和教誨,它們追求的就是生物品質的絕對不對等,為此可以犧牲手牌(蓮花瓣 Lotus Petal)和生命(古墓 Ancient Tomb)資源;而風暴套牌追求的是單回合咒語密度的絕對不對等,為此犧牲的是牌庫裡的單卡品質(黑暗祭禮 Dark Ritual)和生命資源(倒胃口 Ad Nauseam);妖精追求的是場面生物數量的絕對不對等,為此犧牲每個生物單體的品質,等等。

 

傲游截图20180330192036.png

在以上說的各種資源裡,我覺得法術力是一個值得重點探討的元素。畢竟,法術力作為資源轉換的“交易成本”,在很大程度上決定了資源轉換的速度,從而就反映出了資源的不對等程度。所以在這篇文章裡,我試圖通過分析套牌的法術力基礎,探討判斷“不對等”的指標是什麼。

 

對套牌法術力基礎的解析

2.1 法術力曲線

在我們的第一印象裡,“不對等”首先體現在了制勝手段的法術力費用上。比如,一個用重獲自由的卡恩作為制勝手段的套牌,在我們的心目中是典型的unfair,即不對等套牌。而用掘密師(Delver of Secrets)或者死亡陰影(Death's Shadow)作為主力的套牌,是很典型的對等套牌。我們經常會聽到一種說法,即一套牌的法術力曲線是高還是低。使用卡恩的套牌,其法術力曲線必定高於使用掘密師的套牌。那麼,什麼是法術力曲線?法術力曲線高低,和套牌的不對等性高低,之間有沒有關聯?

法術力曲線有兩種,一種是“分佈曲線”,另一種是“累積曲線”。我們先以摩登賽制的潔斯凱控制(Modern Jeskai Control)為例,看一下這兩種曲線。

牌表如下:(注:本文牌表均來自於20177月和8MO League 5-0套牌。)

Modern Jeskai Control.png  

捕获01.PNG 

除了25張地牌以外,統計在每個費用數值上的單卡數量,得出一個表格:

捕获02.PNG 

以此為基礎,我們就能繪製出這套牌的法術力分佈曲線:

16PVSjh  

這條藍色的曲線,就是法術力分佈曲線。我們能看到,潔斯凱控制這套牌的法術力集中在1費和2費。同樣的道理,我們來看一下奧札奇塔脈爐(Modern Eldrazi Tron)。

牌表如下:

 Modern Eldrazi Tron  

捕获04.PNG 

法術力分佈曲線如下:

cf0sGyS  

看起來,奧札奇塔脈爐的費用集中在013費上。但是,這樣做出來的結論非常粗糙。一張牌的理論費用和實際費用可能有所差別。比如說,我們都知道,迅咒法師是一個2費的咒語,但是在實戰中我們極少會2費空跳一個迅咒(Snapcaster Mage)出來。一般情況下,我們都是在自己有3費的時候才會用到迅咒,因為要給1費返照閃電擊、流放之徑、漿液預示等咒語。史芬斯的啟示理(Sphinx's Revelation)論費用是3,但不會有人施放x=0的啟示。

Snapcaster Mage  Sphinx  

同理,在奧札奇塔脈爐裡,我們也基本上沒有機會3費施放肢解(Dismember)。而且,雖然虛空聖杯(Chalice of Void)理論上是0費,在絕大多數場合下我們還是要讓x等於2。另外就是有一些功能地,比如魂魅城區(Ghost Quarter),我們在設計套牌的時候就沒把它當成一張能產費的地。這在摩登賽制裡還不太明顯,在薪傳賽制中體現得更加突出——荒原、大禮拜堂、黑暗深淵等(Wasteland, The Tabernacle at Pendrell Vale, Dark Depth),主要功能不是用來產費。所以考慮到上述情況,我們要對單卡的費用進行一些修正。例如潔斯凱控制,我們可以修正成:

 3HzFH8T  

其中迅咒法師由2修正為3,史芬斯的啟示由3修正為6。魂魅城區從0修正為1,理解為1費炸地咒語,它依然算作地,因為要佔用當回合下地的額度——你不能在同一回合下多個魂魅城區去炸地(荒原同理),所以它不能算作0費炸地。

類似地,奧札奇塔脈爐修正為:

U8zA2Re  

其中虛空聖杯、自行弩炮都從0修正為2,肢解從3修正為1。另外,由於奧札奇殿堂(Eldrazi Temple)的減費效應,以及塔脈爐的多費效應,高費咒語的實際費用都做了改動。比如說,如果我們的塔、脈、爐同時在場,那麼三張地就可以施放卡恩。換個思路,如果我們假設每張地只能產1費,那麼卡恩就是個3費的咒語。考慮到不會每把都準時抓齊塔脈爐,我們可以用一種比較經驗的方法去近似。根據我的觀察,在對手不炸地的前提下,平均下到5地時候有望施放卡恩,那麼我就把卡恩的費用修正為5。每張地只能產1費,這是本文的一個重要假設。只有這樣,不同套牌的法術力基礎才能橫向對比。

在修正的基礎上,我們重新審視兩套牌的法術力分佈曲線:

rgauJBw  

r9qnZjE  

於是我們看到,兩套牌的法術力曲線基本上都呈現下降狀態,也就是費用越高的咒語數量越少。在直觀上能感覺到,這樣的分佈曲線比用理論費用畫出來的圖要更合理。從這兩張圖上,我們還能看到法術力分佈曲線的優勢和不足。它的優勢在於很容易看出一套牌的咒語在法術力消耗上的分佈是不是均勻——按照一般牌手的說法,就是“法術力曲線是不是平滑”。分佈曲線起伏越小,反映出這套牌在各個費用上的分佈越均勻。而且這種方式有助於對比兩套牌法術力的消耗情況差異,比如說費用集中在哪些上,最高費用是多少,等等。

 

但是,法術力分佈曲線有自己嚴重的不足。首先,套牌的法術力分佈並非越平滑越好。我們很難想像一套有24地、36咒語的牌,其法術力費用呈現均勻分佈,比如1費至6費各六張。Alexander Shearer2012)在《致命的四費標識》(The Deadly Four-Mana Mark)中曾經建立了一個模型,研究“第N回合擁有N塊地的概率”,我將其稱為“法術力保障水準”(mana insurance level)。請注意,他的文章也假設每塊地只能產1費。上述兩個牌表進行法術力修正之後,潔斯凱控制是36咒語24地,奧札奇塔脈爐是38咒語22地,它們的法術力保障水準情況分別是:

TGmkBUz.png  

2A9fmmD.png

可以看出,這兩套牌第三回合能有3塊地的幾率都超過了70%,因此大概率能夠正常施放咒語。然而不考慮極少數頂費咒語的話,潔斯凱控制4費的保障水準是63%,奧札奇塔脈爐5費的保障水準不到37%。所以後者相對於前者,雖然曲線看起來更平滑,但實際上法術力基礎的穩定性要差得多。

 

其次,我們一般的語言裡,提到套牌的法術力曲線,總是說“高”或者“低”。其實平均法術力費用的高低,和法術力分佈曲線的高低,並不是一回事。法術力分佈曲線的高低,只反映套牌法術力的集中程度,不反映平均費用。例如,潔斯凱的曲線高點是12,塔脈爐的曲線高點是10;但前者的平均實際費用是2.50,後者的平均實際費用是2.76。第三,雖然這條曲線的平滑度能夠在某種程度上體現出套牌費用是否均勻,但均勻度和穩定性不是一回事。Shearer文章的一個重要結論就是“5費比4費多了不止1費”。法術力費用越高,保障水準就越低。因此,如果同是25地、35咒語的兩套牌,前者費用分佈是1費至5費各7張,後者分佈是3費至7費各7張,那麼根據Shearer的結論,前者的法術力基礎穩定程度要遠好於後者。

a1.png a2.png

同樣的曲線高度,法術力基礎的穩定性差異巨大

 

所以為了彌補上述缺陷,我們可以用法術力累積曲線來研究套牌。法術力累積曲線是把單卡按照法術力費用由小到大排序,然後逐一累加,得出一條升高的曲線。我們還是用上述兩套牌,去掉地牌,將咒語的法術力費用修正到實際費用,然後來進行排序。橫軸是累計的張數,縱軸是累計的費用。

首先是潔斯凱控制:

 

 btaZWtn  

 

 bO5pmu9  

 

 

然後是奧札奇塔脈爐:

 

M7nTmYx  

Bt8iDYz  

 

然後我們將這兩張圖疊合進行比較:

QAX4GzO   

 於是我們看到,這兩套牌在低費區的曲線基本重合,而累計張數超過20之後,奧札奇塔脈爐的法術力累計曲線明顯要高於潔斯凱控制。我們回到資料表,找到這兩套牌累計張數為20的點,能夠看到是在2費和3費上,即奧札奇套牌在3費上的咒語出來的比潔斯凱要早。牌手們平時所謂的“曲線高”,所指的就是法術力累積曲線。

那麼,我們從法術力累積曲線上,能不能找出unfair套牌的普遍規律呢?比如說,是不是unfair屬性越突出的套牌,其曲線就越高呢?我統計了薪傳和摩登的32套牌(包括薪傳18套、摩登14套),它們的法術力累積曲線如下:

15.PNG

3k8g6k4  

16.PNG

lzIvhEF  

在以上兩張圖中,有些曲線在尾端出現了突然增高的現象。這種“翹尾效應”的原因大都在於,建構模型時,對一些牌的法術力費用做了修正。其中一條修正原則是:凡是無法生拍或者基本上不會生拍的咒語,費用按照9計算。因為這兩個賽制可以生拍的頂費咒語在8費(靈龍烏金 Ugin, the Spirit Dragon),9費的牌就可以視為抓到後永遠無法施放,例如偷襲套(SNT)牌裡的棘澤邊(Griselbrand)。

1  106  

 如果我們不考慮翹尾效應,那麼薪傳賽制的圖中曲線最高的幾套牌分別是哨站、死稅、四色黑土和奧札奇(12-Post, Death & Taxes, 4c Loam and Eldrazi);曲線最低的幾套牌分別是紅藍掘密師、侵染、格利極掘密師和倒胃口風暴(UR Delver, Infect, Grixis Delver and Ad Nauseum Tendrils)。摩登賽制的圖中曲線分佈非常集中,很難說哪些套牌的曲線顯著比其他套牌高;但是明顯有四套牌,即共鳴、倒胃口風暴、格利極陰影和納雅燒(Affinity, Ad Nauseam, Grixis Shadow and Naya Burn),曲線比其他套牌都要低。就薪傳賽制來說,曲線的高低和不對等程度貌似沒有直接關係。無論曲線最高的幾套牌,還是曲線最低的幾套牌,裡面都混雜了一般認知裡的對等(例如死稅、掘密師)和不對等(例如哨站、風暴)兩類套牌。就摩登賽制的這四套牌低曲線套牌來說,除了格利極陰影以外,其餘三套都是一般意義上的不對等套牌。但是其他不對等套牌,例如奧札奇塔脈爐、禮物風暴等,和其他對等套牌在曲線上沒有明顯差別。可見,法術力曲線不能有效地反映出套牌的不對等性。

 

2.2 標準差和基尼係數

  

法術力曲線主要反映了一套牌法術力消耗量的大小,但是不能很好地反映出套牌消耗法術力的不均勻程度。在我們的印象裡,對等套牌的法術力消耗多是線性增加的,第一回合施放1費咒語,第二回合施放2費咒語,以此類推。但是不對等套牌追求資源轉換上的不對等,所以就會用非常規的方式消耗法術力。比如說薪傳的倒胃口風暴,就會用蓮花瓣、黑暗祭禮這樣的手牌資源換取法術力,而爭取在第一或第二個回合就湊出7個費,然後接連施放煉獄導師和倒胃口。除了傳統組合技以外,不對等套牌還可能會追求很高的協同性,這就要求它們在一兩個回合內把手牌資源轉化為戰場資源。例如共鳴,會使用大量的0費生物。第一回合放空手牌、在第三回合打死對手的摩登共鳴,和同樣第一回合放空手牌造出16個鬼怪衍生物、第三回合打死對手的薪傳噴火炮(Belcher),從本質上說沒有差別。這也是為什麼共鳴被廣泛認為是不對等套牌。這樣的構組思路,會導致不對等套牌建立起獨特的法術力基礎。從直觀上看,套牌元件的法術力費用分佈應該具有很大的不均勻性。

 在數學上,我們衡量樣本集合的不均勻性,也就是各樣本相對於均值的偏離程度,一般用標準差這個指標。我嘗試計算了若干薪傳套牌的法術力費用(修正後的,下同)的均值和標準差,結果如下:

17.PNG

pYqVaWi  

在這張表上,標準差大於1.5的套牌有5套,包括教誨、掘墳、妖精和哨站,全部都是一般認知裡的不對等套牌。其餘不對等套牌,例如風暴、地、奧札奇、黑綠深淵、紅燒等,在標準差數值上沒有表現出獨特性。 

這說明標準差這個指標有一定的意義,但也存在缺陷。標準差反映的是樣本偏離均值的程度,這會導致認知偏差。我們假設有AB兩套牌,每套牌只有4張咒語。A套牌的法術力費用分別為1234,而B套牌的法術力費用分別是3456。這兩套牌法術力標準差是相等的,但法術力基礎顯然不一樣。作為B套牌,我們可以設想,它的運作方式很有可能是按照回合數的前進,線性地施放這些咒語。而A套牌,更有可能出現在單一回合連續施放出全部咒語的情況,也就是以低費咒語作為高費咒語施放的條件。這樣的A套牌,更符合不對等套牌在我們頭腦中的印象。所以,我們需要另一個指標來描述這樣的法術力分佈狀況。 

這個指標就是基尼係數。在經濟學上,這個指標用來衡量一個地區人口收入差距的大小。我把它借用過來,稱為“法術力不均勻指數”。它的計算基礎是法術力累積曲線。法術力累積曲線和絕對平均曲線之間的面積為x,累積曲線右下方的面積為y。不均勻係數就是x除以(x+y)的商。例如下圖,摩登潔斯凱控制套牌的不均勻指數是0.304

Md2B5Yy  

還用剛才的例子解釋。A套牌的法術力費用分別為1234,相比于最低費咒語,其他三張咒語的值分別是2倍、3倍和4倍;而B套牌的法術力費用分別是3456,相比于最低費咒語,其他三張咒語的值分別是1.33倍、1.67倍和2倍。從這個角度看,A套牌的法術力構成更加不均勻。所以,不均勻指數在反映不均勻性上比標準差要更好。

我計算了薪傳18套牌和摩登14套牌的不均勻指數,結果如下:

 

 19.PNG 20.PNG

mZopB1Q  CUbdxzD    

 

 

可以看出,無論薪傳還是摩登,不均勻指數大於0.38的牌,幾乎全都是我們一般認知裡的不對等套牌。唯一的問題出在薪傳的明師奇跡上。但是考慮到其取勝方式是拍出寺院明師之後靠一兩個回合的濾牌咒語膨脹,這也是一種高協同+高爆發的現象,因此歸在不對等套牌裡也不是原則問題。不均勻指數小於0.37的套牌,幾乎全都是我們印象裡的對等套牌。但是在這個區間段,薪傳賽制的地、奧札奇、哨站和紅燒,以及摩登賽制的奧札奇塔脈爐,是我們印象裡的不對等套牌,沒有被篩選出來。問題可能出現在以下兩個方面:

 第一,哨站和奧札奇套牌都用了能產多費的地,例如雲際哨站、古墓、叛徒之都、奧札奇殿堂等。由於我們的模型假設一張地只能產1費,對於奧札奇這種法術力基礎極為特殊的套牌,我們採用的變通方式是調低了咒語的施放費用——橫置兩個雙費地,出一個4費的咒語,在模型裡被考慮成橫置兩個1費地,出一個2費的咒語。這樣實現了與其他套牌在累積曲線上可比,但是抹殺掉了這種法術力基礎的獨特性。

 第二,地套和紅燒是不是不對等套牌,確實可以進一步考慮。本文之初引用的MTGwiki.com的觀點認為,control套牌即便外掛組合技,也應算作對等套牌。就地套而言,黑土、荒原、迷宮、柳樹放火(Life from the Loam , Wasteland, Maze of Ith and Punishing Fire)這樣的打法,基本上屬於控制的思路;在控制的基礎上,外掛了深淵舞臺組合技。它和追求極速造出20/20的黑綠深淵套牌(Turbo Depths)思路不同。但我們的思路前後不能矛盾——既然外掛了明師的奇跡可以算作不對等套牌,那麼地套為什麼算作對等套牌?這確實需要進一步研究。至於紅燒,它既不是組合技,元件之間也是以簡單堆砌為主而協同性比較差,所以算作對等套牌也沒有大問題。

 由此可見,不均勻指數較高是不對等套牌法術力費用的重要特點,可以作為不對等套牌的一個參考判定標準。

  

需要進一步研究的問題

 

 第一個問題是,不均勻指數是不是不對等套牌的最佳判定標準?由於模型的局限,在不均勻指數較低的套牌裡,存在著奧札奇這樣的不對等套牌,但是不均勻指數高的套牌,幾乎全都是不對等套牌。因此可以說,不均勻指數較高是不對等套牌法術力費用的重要特點,但能不能下結論說,凡不均勻指數高的套牌一定是不對等套牌?我們有沒有可能找到更好的指標?

 第二個問題是,當我們拋棄了經驗而採用了統計,得出的結論是否還具有指導意義?前文說過,就不對等套牌,我們的經驗理解是那些追求儘早獲勝的組合技或者高協同性的套牌。我們本來不必去統計,就能大致區分開對等和不對等套牌。當我們採用了統計手段之後,以後是不是看到一套牌後,先去計算其不均勻指數,然後根據結果落在哪個區間來判定其是不是不對等套牌?

 第三個問題是,我們用統計手段篩查出了不對等套牌,有什麼實踐指導意義?目前我的研究,更多是出於求知欲,即“我就是想知道”。那麼知道了以後呢?Shearer文章的結論是“5費比4費多了不止1費”,這樣能夠在一定程度上指導操控,讓牌手根據自己套牌的法術力基礎,預期什麼時候(第幾回合)去結算5費的咒語,並依此做出遊戲計畫。而“不對等套牌的法術力不均勻指數偏高”的指導意義在哪裡?我認為,不均勻指數高的套牌,施放咒語要麼有替費手段,要麼就是用手牌換取法術力,所以在實際對局裡,除了極少數的地以外,對地數量的需求不高。所以當我們使用對等套牌,面對這些不對等套牌的時候,我們自己的荒原/魂魅城區等功能地,不應當優先用於炸對手的地。比如我就主張,在薪傳掘密師面對風暴的時候,備牌局裡應該換掉一部分荒原。或許不均勻指數這個指標還能夠幫助套牌設計師在構組套牌的時候搭建更合理的法術力基礎,不過目前我還沒有思考清楚。

 第四個問題是,對套牌法術力的修正方法能不能更合理?我在文末會列出我所採用的修正原則供讀者參考。如果我們找到更合理的修正方式,或許統計結果會有說服力。

 

 法術力修正原則:

 1)凡是無法生拍或者基本上不會生拍的咒語,費用按照9計算。因為這兩個賽制的生拍的頂費咒語在8費(靈龍烏金),9費的牌,就可以視為抓到後永遠無法施放。這樣的例子包括全知全能、萬世創傷伊莫庫、棘澤邊,以及摩登發掘中的可怖血妖、珍奇拼合怪等等。

44 6382249  

 2)凡是因為替費或其他付費方式而不需要法術力的咒語,費用按照0計算。比如意志之力、目眩、吉塔廈探刺等。同理,肢解、黯窖斯克魔、古爾瑪釣客等,費用定為1

493076  

 3)凡是目的不是用來產費,或者實戰中極少用來產費的地,費用按照其功能消耗的法術力計算。例如荒原和魂魅城區定為1,伊斯的迷宮定為1,靜謐灌叢定為1,等等。另一些根本不能產費的功能地,例如大禮拜堂、冰河裂隙、黑暗深淵等,費用定為1。這樣定的理由是:它們不能定為0,因為它們要佔用下地的額度,不能像其他0費咒語(如蓮花瓣)一樣在同一回合用出多個,於是把它們看作用1費施放(因為自己就是一張地)的一個神器或結界就好了。但是力夏達港、遍野林冠等主要功能是產費、兼有其他功能的地,以及烏金之眼這樣變相產費的地不在此列。

248173252331  

4)一些帶有x的咒語,例如虛空聖杯、綠陽當空等,考慮其x的概率,賦予近似費用值。例如虛空聖杯,絕大多數情況都是用來封1,所以費用定為2。綠陽當空在Maverick裡多用來1費找樹靈喬木和4費找聖物騎士,因此用加權的方式,費用定為2.5=1*0.5+4*0.5)。

222169203

 5)猿猴精怪嚮導和妖精精怪嚮導這樣的直接產費牌,費用定為0

69148  

 6)因需要其他咒語配合,經常要在有更多法術力時才會施放的牌,例如迅咒法師和寺院明師(Monastery Mentor),費用適當提高。

Snapcaster Mage20 (1)

 7)一些進場費用可變的牌,例如顱擊槌(因為鍛石秘教徒Stoneforge Mystic),以及奧札奇套牌的各種元件(因為減費效應、雙費效應的地),費用適當減少。

 13012  

 

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